发布日期：2024-01-28 14:26点击次数：157
2025年2月24日ag平台百家乐，纽约大学科朗数学科学扣问所助理造就王虹与不列颠哥伦比亚大学助理造就约书亚·扎尔 （Joshua Zahl）在预印本网站（arXiv）上，提交了一篇题为《凸集的并集的体积策动和三维挂谷集料想》（Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions）的论文。在这篇127页的论文中，王虹和扎尔给出了三维挂谷集料想的一个诠释。
稍后，陶哲轩在我方的博客上对这篇论文作念了解读，并将其评价为“几何测度论界限的惊东谈主推崇”。
挂谷问题与挂谷集料想
挂谷集料想，是一个距今依然卓著一百年历史的数学料想。
在1917年，日本数学家挂谷宗一忽视了一个日后被称为“挂谷问题”的数常识题。这一问题有一个形象的糊口化版块，被称为“武士如厕”问题：“一位武士在上茅厕时遭到敌东谈主迫切。一时之间矢石如雨，而他只好一根短棒用来防身。为了挡住射向他的箭矢，武士需要挥舞短棒旋转一周。但武士所处的茅厕很小，是以应当使短棒扫过的面积尽可能小。那么，这根短棒扫过的面积最小不错小到若干？”
这一问题的严格数学刻画则是这么的：“平面上是否存在一个面积最小的区域D，使得一个长度为1的单元线段不错在D内旋转360°？”这么的区域D，就被称为挂谷集（Kakeya set）。而所谓的挂谷问题，即是在问，统统平面上的挂谷集的面积最小不错是若干。
彰着，这根线段按照不同的神色选拔，所扫过的挂谷集的面积是不同的。举例，要是线段绕着某一个端点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1的圆盘，面积为π。而要是线段绕着中点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1/2的圆盘，面积为π/4。
挂谷宗一册东谈主合计，面积最小的平面挂谷集为一个刚好不错容纳单元线段的三尖瓣线围成的区域。此时，这个平面挂谷集的面积为π/8。
在1920年，前苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）在扣问黎曼积分的时辰，给出了一个被称作贝西科维奇集的平面区域。这个贝西科维奇集，包含了指向统统标的的单元线段。同期，它亦然一个勒贝格零测集。
在数学中，测度是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）广义化后产生的观念。所谓勒贝格测度，是法国数学家昂利·勒贝格（Henri Lebesgue）忽视的一种测度。在频繁的情况下，勒贝格测度等同于无为的长度、面积、体积等等。然而对于许多无法以无为的神色界说“体积”的空间区域，勒贝格测度也不错给出其测度值。而所谓的勒贝格零测集，即是勒贝格测度为零的集结。也即是说，勒贝格零测集的“体积”为零。
看成勒贝格零测集的贝西科维奇集，其“面积”也就为零。使用一些数学技能，就不错使得长度为1的线段在贝西科维奇集上，以尽可能小的扫过面积连气儿出动。这么就不错构造出一个平面挂谷集，况且这个平面挂谷集的面积不错无穷趋近于零。
就这么，贝西科维奇的扣问给出了挂谷问题的一个出东谈主预感的解答：平面挂谷集的面积，不错无穷趋近于零。也即是说，在平面上存在一个面积相配相配小的区域D，使得长度为1的线段，不错在区域D内旋转360°。正因为此，贝西科维奇集也被称为挂谷集。
挂谷集的一个例子，左侧为绕单元线段中心旋转的圆，面积为π/4，右侧为刚好不错容纳单元线段的三尖瓣线，面积为π/8。（贵寓图）
自贝西科维奇的职责起，挂谷集这一平面几何中的问题，就和分析学辩论到了沿途。挂谷集也运行被数学家们用于构造分析学中的反例。除此除外，数学家们也邋遢发现，挂谷集与诸如偏微分方程、数论、组合等数学分支中的某些问题有着深远的辩论。举例，有很大王人学家王人合计，搭伙分析中的两大中枢问题：示寂问题（The restriction problem）和博纳赫-里斯料想（Bochner-Riesz conjecture）王人与挂谷集最小粗略多小有平直的关连。
这些辩论问题的扣问，使得数学家们在约束深化对于挂谷问题的探索。
对于挂谷问题，一个很当然的推行即是将挂谷集从平面推行到更高维度的空间。即：一个长度为1的线段不错在n维欧式空间中的一个区域D内认知，况且线段的两个端点，要遍历空间中的每一个标的。这么的n维空间中的区域D，就被称作n维挂谷集。
由此，数学家们忽视了挂谷集料想：“n维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于n。”
体积与维数
在挂谷集料想的刻画中，有两个很紧要的观念，豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数。
维数是一个很常见的数学观念。日常糊口中遭受的维数一般王人是正整数。举例，直线是一维的，平面是二维的，而咱们所糊口的这个空间是三维的。这种维数被称为拓扑维数。
每个维数的空间里，王人有各自的“体积”。在一维时体积厉害段的长度，二维时体积是平面区域的面积，三维时则是几何体的体积。
而在不同维度空间之间，则有着不成提高的鸿沟。一维的直线段是只好长度而莫得宽度的，再多的长度为1的单元线段，也填不悦一个单元正方形的里面。相同的，二维的平面区域是莫得厚度的，再多的单元正方形也填不悦一个单元立方体的体积。
这一切看上去王人品级分明，有层有次。
然而，在1890年和1891年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）和德国数学家大卫·希尔伯特先后构造出了皮亚诺弧线和希尔伯特弧线。这两条原本应该是一维的弧线，却有着一个神奇的特点：它们王人粗略填满一个单元正方形的里面。也即是说，皮亚诺弧线和希尔伯特弧线，AG真人百家乐线路这两个原本应该是一维的弧线，却有着二维的面积。
在单元正方形内生成希尔伯特弧线的前六步，第n步的希尔伯特弧线的长度是2ⁿ-2⁻ⁿ。（贵寓图）
随后，在1915年和1916年，波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wac?aw Sierpiński）用约束挖孔的神色，构造出了谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯。
谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯王人是实简直在的平面图形，然而它们的勒贝格测度却王人等于零。也即是说，谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯的“面积”王人为零。
这些例子的给出，使得数学家们意志到以往对于维数的朴素认识，是有着无边颓势的。这就催生了包括豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数在内的多种维数的界说神色。
豪斯多夫维数由德国数学家费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）在1918年忽视。
豪斯多夫维数的中枢办法，是酌量体积随几何体缩放时的变化率。举个例子，当一个正方形的边长扩大一倍或者削弱一半时，正方形的面积或扩大或者削弱二的泛泛，即四倍或者四分之一。而当一个立方体的边长扩大一倍或者削弱一半时，立方体的体积或扩大或者削弱二的立方，即八倍或者八分之一。也即是说，维数，刚巧即是体积缩放比例的指数。
豪斯多夫维数的界说，就体现了雷同的缩放比例的办法。在数学上，测量一个几何体的体积，有一个直不雅的作念法。那即是用许多半径为r的小球来粉饰这个几何体。接着让这些小球的半径趋近于零，况且计较小球的数目N(r)乘以单个小球的体积的极限就不错得出几何体的体积。
于是，豪斯多夫指出，当小球的半径r趋近于零时，N(r)的对数与r的对数的比值的极限值，即是这个几何体的体积的缩放比例。也即是所谓的豪斯多夫维数。
按照豪斯多夫维数的界说，皮亚诺弧线与希尔伯特弧线的豪斯多夫维数均为2。谢尔平斯基三角形的豪斯多夫维数为lg3/lg2≈1.5850。而谢尔平斯基地毯的豪斯多夫维数则为lg8/lg3≈1.8928。
闵可夫斯基维数，则由爱因斯坦的淳厚，德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）忽视。与豪斯多夫维数顶用小球粉饰几何体计较体积的神色不同，闵可夫斯基维数的几何体体积的计较神色是：将空间分红均匀的方格，通过计较包含几何体的方格的数目来计较几何体的体积。正因为此，闵可夫斯基维数也被叫作念计盒维数。
豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等观念的忽视，大大加深了数学家们对于体积和维数的认识，并最终和普拉托问题（Plateau's problem，即扣问在界限固定时极小曲面的存在性的问题）等数常识题沿途，催生了几何测度论这一数学分支。
而挂谷集料想，则是几何测度论中的一个中枢问题。
1971年，英国数学家罗伊·戴维斯（Roy Davies）诠释了，平面上的贝西科维奇集的豪斯谈夫维数和闵可夫斯基维数王人是2。从而惩处了二维的挂谷集料想。
三维挂谷集料想
尽管二维挂谷集料想获取了圆善惩处，然而当维数增多时，挂谷集料想会变得额外繁重。实质上，挂谷集料想的难度依然达到了“出圈”的进程。2016年好意思国大选时期，陶哲轩在个东谈主博客上公开暗意，特朗普不合适作念好意思国总统。看成对陶哲轩这一言论的修起，特朗普在个东谈主酬酢媒体上宣称：“陶哲轩是一个失败的分析学家，他连挂谷集料想王人诠释不出来。”
哪怕是三维挂谷集料想，数学家们也一直找不到惩处要津。尽管陶哲轩以及法国数学家、1994年菲尔兹奖得主让·布尔甘（Jean Bourgain）等东谈主王人扣问过挂谷集料想，然而恒久以来，对于三维挂谷集料想，数学家们只获取了一些阶段性恶果。
在1994年，好意思国数学家托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）诠释了三维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数王人不小于2.5。五年之后的1999年，内茨·卡茨（Nets Katz）、伊莎贝拉·拉巴（Izabella Laba）和陶哲轩将这一收尾改动了一百亿分之一，即：0.0000000001。也即是说，卡茨、拉巴和陶哲轩诠释了：三维挂谷集的闵可夫斯基维数不小于2.5000000001。这亦然王虹和扎尔的论文之前，对于三维挂谷集料想的最好收尾。
自2022年起，王虹和扎尔勾通，在预印本网站上提交了三篇对于三维挂谷集料想的论文。
在2022年10月的论文《粘性挂谷集和粘性挂谷集料想》（Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture）中，王虹和扎尔针对一类独特的挂谷集，即粘性挂谷集，诠释了三维挂谷集料想。
在2024年1月的论文《三维挂谷集的阿苏德维数》（The Assouad dimension of Kakeya sets in R^3）中，王虹和扎尔对一种稍弱一些的维度，即阿苏德维数，诠释了三维挂谷集料想。即三维挂谷集的阿苏德维数等于三。
最终，在2025年的这篇127页的论文当中，王虹和扎尔给出了三维挂谷集料想的完整诠释。
王虹和扎尔的这三篇加起来长达234页的“挂谷集料想三部曲”，完整地展现了数学家们惩处问题的惯例历程。
其中，粘性挂谷集是1999年卡茨、拉巴和陶哲轩在论文中忽视的一个观念。况且，粘性挂谷集这一观念，在陶哲轩他们的诠释中起到了相配紧要的作用。阿苏德维数则是由法国数学家帕特里斯·阿苏德（Patrice Assouad）于1977年，在他的博士论文中忽视的一种维数。
王虹和扎尔的“挂谷集料想三部曲”则是在充分纠统一接纳前东谈主职责的基础上，先忽视一些加强要求来简化需要惩处的问题。并在惩处简化版问题的过程中，找到惩处问题的中枢想路和要津。接下来，对比原版问题和简化版问题，找出其中的时期性约束和难点，发展出新的要津和时期，用以惩处或者绕过这些约束和难点，最终彻底惩处问题。
这也恰是陶哲轩对王虹和扎尔的职责给出的评价：“（这篇论文）的论证过程中使用了许多之前文件中的想想，这其中也包括我（陶哲轩）和勾通者的一些论文。然而所需的分析和迭代过程相配的复杂小巧，况且需要许多新的想路和办法才得以完成通盘论证过程。”
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