1. 均值不等式（AM-GM 不等式）ag真人百家乐官网

均值不等式是数学中荒谬普遍的不等式之一，它标明关于非负实数，算术平均数（AM）老是大于或就是几何平均数（GM）。

定理：关于非负实数有

当且仅其时等号建设。

证实：

均值不等式的证实顺次有许多，常见的稀有学归纳法、拉格朗日乘数法或利用对数函数的凸性。以下是数学归纳法的简要念念路：

基例：关于不等式理会建设；关于有不错通过平常张开证实。

归纳假定：假定不等式对建设。

归纳设施：证实对和建设（反向归纳法）。

应用：

均值不等式在优化、证实其他不等式以及处理极值问题时荒谬有效。举例：

证实关于

在按捺条目下求函数的最大值或最小值。

2. 其他普遍不等式

除了均值不等式，还有许多普遍的不等式：

(1) 柯西不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）

关于实数和有

当且仅当和线性相关时等号建设。

(2) 排序不等式

关于两组实数和以及淘气罗列有

(3) 切比雪夫不等式

关于两组单调递加的实数和有

(4) 琴生不等式（Jensen's Inequality）

淌若凸函数，ag 真人百家乐则关于且有

关于凹函数，不等式标的相悖。

3. 不等式玄虚应用

在处理复杂问题时，陆续需要玄虚垄断多种不等式。举例：

例题：设证实：

证实：

不错利用排序不等式或柯西不等式，但更浅陋的顺次是设则不等式变为：

由于且由对称性不错假定然后应用切比雪夫不等式或均值不等式。

4. 进修

1. 设证实：

2. 设且证实：

5. 回想

不等式是数学竞赛和高级数学中的普遍器用，掌持均值不等式、柯西不等式、排序不等式等基本不等式过甚活泼垄断是处理问题的过错。

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